Data-driven neighborhood selection of a Gaussian field

We study the non-parametric covariance estimation of a stationary Gaussian field X observed on a lattice. To tackle this issue, we have introduced a model selection procedure in a previous paper [Ver09]. This procedure amounts to selecting a neighborhood m̂ by a penalization method and estimating the covariance of X in the space of Gaussian Markov random fields (GMRFs) with neighborhood m̂. Such a strategy is shown to satisfy oracle inequalities as well as minimax adaptive properties. However, it suffers several drawbacks which make the method difficult to apply in practice. On the one hand, the penalty depends on some unknown quantities. On the other hand, the procedure is only defined for toroidal lattices. Our contribution is threefold. We propose a data-driven algorithm for tuning the penalty function. Moreover, we extend the procedure to non-toroidal lattices. Finally, we study the numerical performances of this new method on simulated examples. These simulations suggest that Gaussian Markov random field selection is often a good alternative to variogram estimation. Key-words: Gaussian field, Gaussian Markov random field, Data-driven calibration, model selection, pseudolikelihood. ∗ Laboratoire de Mathématiques UMR 8628, Université Paris-Sud, 91405 Osay † INRIA Futurs, Projet SELECT, Université Paris-Sud, 91405 Osay in ria -0 03 53 26 0, v er si on 1 15 J an 2 00 9 Sélection automatique de voisinage d’un champ gaussien Résumé : Nous étudions l’estimation non-paramétrique d’un champ gaussien stationnaire X observé sur un réseau régulier. Dans ce cadre, nous avons précédemment introduit une procédure de sélection de modèle [Ver09]. Cette procédure revient à sélectionner un voisinage m̂ grâce une technique de pénalisation puis à estimer la covariance du champ X dans l’espace des champs de Markov gaussiens de voisinage m̂. Une telle stratégie satisfait des inégalités oracles et des propriétés d’apdaptation au sens minimax. En pratique, elle présente néanmoins quelques inconvénients. D’une part, la pénalité dépend de quantités inconnues. D’autre part, la procédure est uniquement définie pour des réseaux toriques. La contribution de cet article est triple. Nous proposons un algorithme automatique pour calibrer la pénalité. De plus, nous introduisons une extension à des réseaux non-toriques. Enfin, nous étudions les performances pratiques de la procédure sur des données simulées. Ces simulations suggèrent que la sélection de champs de Markov gaussiens est souvent une bonne alternative à l’estimation de variogramme. Mots-clés : Champ gaussien, champ de Markov gaussien, calibration automatique, sélection de modèle, pseudo-vraisemblance. in ria -0 03 53 26 0, v er si on 1 15 J an 2 00 9 Neighborhood selection 3